Question

（2012•湖北）已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx），設函數f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，0）求函數f（x）在區間[0，

3π

5

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用向量數量積運算性質，求函數f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數，最后利用函數的對稱性和ω的范圍，計算ω的值，從而得函數的最小正周期；
（2）先將已知點的坐標代入函數解析式，求得λ的值，再求內層函數的值域，最后將內層函數看做整體，利用正弦函數的圖象和性質即可求得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2

3

cosωx+λ
=-（cos²ωx-sin²ωx）+

3

sin2ωx+λ
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ
∵圖象關于直線x=π對稱，∴2πω-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z
∴ω=

k

2

+

1

3

，又ω∈（

1

2

，1）
∴k=1時，ω=

5

6

∴函數f（x）的最小正周期為

2π

2× 5 6

=

6π

5

（2）∵f（

π

4

）=0
∴2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0
∴λ=-

2

∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

由x∈[0，

3π

5

]
∴

5

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（

5

3

x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

=f（x）∈[-1-

2

，2-

2

]
故函數f（x）在區間[0，

3π

5

]上的取值范圍為[-1-

2

，2-

2

]

點評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函數的圖象和性質，向量數量積運算性質，復合函數值域的求法，整體代入的思想方法，屬基礎題