Question

（2012•湖北）已知向量

a

=（1，0），

b

=（1，1），則
（Ⅰ）與2

a

+

b

同向的單位向量的坐標表示為

（

3 10

10

，

10

10

）

；
（Ⅱ）向量

b

-3

a

與向量

a

夾角的余弦值為

-

2 5

5

．

Answer 1

分析：（I）由已知可求2

a

+

b

，進而可求|2

a

+

b

|，而與2

a

+

b

同向的單位向量

2 a + b

10

，再利用坐標表示即可
（II）設

b

-3

a

與向量

a

夾角θ，由已知可求(

b

-3

a

)•

a

，|

b

-3

a

，，|

a

|，代入向量的夾角公式cosθ=

( b -3 a )• a

| b -3 a || a |

可求

解答：解：（I）∵

a

=（1，0），

b

=（1，1）
∴2

a

+

b

=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2

a

+

b

|=

10

∴與2

a

+

b

同向的單位向量的坐標表示

2 a + b

10

=(

3 10

10

，

10

10

)
（II）設

b

-3

a

與向量

a

夾角θ
∵

a

=（1，0），

b

=（1，1），
∴

b

-3

a

=(1，1)-(3，0)=(-2，1)，
∴(

b

-3

a

)•

a

=-2，|

b

-3

a

|=

(-2)2+12

=

5

，|

a

|=1
則cosθ=

( b -3 a )• a

| b -3 a || a |

=

-2

5

=-

2 5

5

故答案為：(

3 10

10

，

10

10

)；-

2 5

5

點評：本題主要考查了向量運算的坐標表示，向量的數量積的坐標表示、夾角公式的應用，注意結論：與向量

a

共線且同向的單位向量

a

| a |

的應用