Question

【題目】已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，過右焦點的直線：與橢圓交于，兩點.當時，是橢圓的下頂點，且的周長為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的右頂點為，直線、分別與直線交于、點，證明：當變化時，以線段為直徑的圓與直線相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由與橢圓交于兩點.當時，是橢圓的下頂點，且的周長為6，得，，解得，即可得到本題答案;

（2）聯立直線方程與橢圓方程，得，，先求得兩點的坐標，然后可以表示出以線段為直徑的圓的標準方程，最后由圓心到直線的距離等于半徑，即可得到本題答案.

（1）由題意知，，∴①

又當時，直線的方程為，∴，∴②

聯立①、②有，，∴橢圓的方程為.

（2）設、，

將直線：代入中有，

∴，，

此時：，：，

∴、，

∴以線段為直徑的圓的方程為.

化簡得：，

又圓心到直線：的距離為.

∴以線段為直徑的圓與直線相切.