Question

橢圓以坐標軸為對稱軸，且經過點（1，

3

2

）、（-2，0）．記其上頂點為A，右頂點為B．
（1）求圓心在線段AB上，且與坐標軸相切于橢圓焦點的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧AB上求一點M，使△MAB的面積最大．

Answer 1

分析：（1）先求出橢圓方程、直線AB方程，再利用點到直線的距離公式，即可求出圓的方程；
（2）法一參數法；法二：設與AB平行的直線為

3

x+2y+p=0，當此直線與橢圓相切于第一象限時，切點即所求M點．

解答：解：設橢圓方程為Ax²+By²=1，則
將（1，

3

2

）、（-2，0）代入有：

A+ 9 4 B=1 4A=1

，
解得：

A= 1 4 B= 1 3

，∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
故有A（0，

3

），B（2，0），右焦點（1，0）
直線AB方程為：

x

2

+

y

3

=1，即：

3

x+2y-2

3

=0（7分）
（1）由題意知圓心（a，b）在第一象限，圓與X軸相切于（1，0），故a=1
代入

3

x+2y-2

3

=0，求得：b=

3

2

，半徑r=b=

3

2

故圓的方程為：(x-1)2+(y-

3

2

)2=

3

4

（或：x2+y2-2x-

3

y+1=0）（10分）
（2）法一：設M（2cosθ，

3

sinθ）（0＜θ＜

π

2

）
則M到直線AB距離為：d=

|2 3 cosθ+2 3 sinθ-2 3 |

4+3

=

2 3 •| 2 sin(θ+ π 4 )-1|

7

由0＜θ＜

π

2

知當θ=

π

4

時，|

2

sin(θ+

π

4

)-1|取最大值，d取最大值．
∵AB長為定值，故此時△MAB的面積最大，得M（

2

，

6

2

）（14分）
法二：設與AB平行的直線為

3

x+2y+p=0，
當此直線與橢圓相切于第一象限時，切點即所求M點．
由

3 x+2y+p=0 x2 4 + y2 3 =1

得：6x2+2

3

px+p2-12=0①
令①中△=0，有：12×（24-p²）=0
又直線過第一象限，故p＜0，解得p=-2

6

，
此時由①有x=-

2 3 p

2×6

=

2

代入橢圓方程，取y＞0，解得y=

6

2

．故M（

2

，

6

2

）．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程、圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查參數法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．