Question

（Ⅰ）求經(jīng)過點(diǎn)（-

3

2

，

5

2

），且與橢圓9x²+5y²=45有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；
（Ⅱ）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，點(diǎn)P（3，0）在該橢圓上，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）橢圓9x²+5y²=45化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出橢圓方程，利用代入法可求；
（2）設(shè)橢圓方程為Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，A≠B），利用代入法可求．

解答：解：（1）橢圓9x²+5y²=45化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

x2

5

+

y2

9

=1，
∴橢圓的焦點(diǎn)在y軸，且c²=9-5=4，得c=2，焦點(diǎn)為（0，±2）．
∵所求橢圓經(jīng)過點(diǎn)（-

3

2

，

5

2

），且與已知橢圓有共同的焦點(diǎn)，
∴設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
可得

a2-b2=4 25 4 a2 + 9 4 b2 =1

，解之得a²=10，b²=6，
∴所求的橢圓方程為

y2

10

+

x2

6

=1；
（2）設(shè)橢圓方程為Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，A≠B）．
∵點(diǎn)P（3，0）在該橢圓上，∴9A=1，即A=

1

9

，
又a=3b，∴B=1或

1

81

，
∴橢圓的方程為

x2

9

+y2=1或

y2

81

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評：由所給條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是：①定位，即確定橢圓的焦點(diǎn)在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值；③寫出方程．