Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，四棱錐的體積，是的中點.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）連接、交于點，連接，利用中位線的性質得出，可得出異面直線與所成角為或其補角，先由錐體的體積公式計算出，并證明出，然后利用銳角三角函數求出，由此可得出異面直線與所成角的大小；

（2）過點在平面內作，證明平面，并證明出平面，由此可得出點到平面的距離等于，然后利用等面積法計算出即可.

（1）連接、交于點，連接，則為的中點，

底面，且底面是邊長為的正方形，底面積為，

則，解得.

、分別為、的中點，，

所以，異面直線與所成角為或其補角，

四邊形是正方形，則，

又底面，平面，，

，平面，

平面，，即，

又，，

在中，，，

因此，異面直線與所成角的大小為；

（2）過點在平面內作，

底面，平面，，

四邊形是正方形，則，，平面，

平面，，又，，平面，

，平面，平面，平面，

所以，點到平面的距離等于，

在中，，，由勾股定理得，

由等面積法得.

因此，點到平面的距離為.