Question

如圖所示,在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中點,求證:AD⊥CC₁;

(2)過側面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側棱于M,若AM=MA₁,求證:截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C.

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C的充要條件嗎?請你敘述判斷理由.

Answer 1

解析：(1)證明：∵AB=AC,D是BC中點,∴AD⊥BC.?

∵底面ABC⊥側面BB₁C₁C,交線為BC,?

∴由面面垂直的性質定理可知AD⊥側面BB₁C₁C.?

又∵CC₁側面BB₁C₁C,∴AD⊥CC₁.?

(2)證法一：延長B₁A₁與BM交于N(在側面AA₁B₁B中),連結C₁N.?

∵AM=MA₁,∴NA₁=A₁B₁.?

又∵A₁B₁=A₁C₁,由棱柱定義知△ABC≌△A₁B₁C₁,?

∴AB=A₁B₁,AC=A₁C₁.?

∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁.?

∴在△B₁C₁N中,由平面幾何定理知∠NC₁B₁=90°,?

即C₁N⊥B₁C₁.?

又∵側面BB₁C₁C⊥底面A₁B₁C₁,交線為B₁C₁,?

∴NC₁⊥側面BB₁C₁C.?

又∵NC₁面BNC₁,∴截面C₁NB⊥側面BB₁C₁C.?

?∴截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C.?

證法二：取BC₁中點E,連結DE、ME.在△BCC₁中,D、E分別是BC、BC₁中點,∴DE CC₁.?

又AA₁CC₁,∴DEAA₁.?

∵M是AA₁的中點(由AM=MA₁知),∴DE AM.?

∴AMED是平行四邊形.?

∴ADME.?

由(1)知AD⊥面BB₁C₁C,∴ME⊥側面BB₁C₁C.?

又∵ME面BMC₁,

∴面BMC₁⊥側面BB₁C₁C.?

(3)結論是肯定的,充分性已由(2)證明.下面僅證明必要性(即由截面BMC₁⊥側面BB₁C₁C,推出AM=MA₁,實質證明M是AA₁中點).?

過M作ME₁⊥BC₁于E₁.?

∵截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C,交線為BC₁,?

∴ME₁⊥面BB₁C₁C.?

又由(1)知AD⊥側面BB₁C₁C.?

∵同垂直于一個平面的兩條直線平行,

∴AD∥MB₁.?

∴M、E₁、D、A四點共面.?

又∵AM∥側面BB₁C₁C,面AME₁D∩面BB₁C₁C=DE₁,∴由線面平行的性質定理可知AM∥DE₁.

又AD∥ME₁,∴四邊形AME₁D是平行四邊形.?

∴AD=ME₁,DE₁ AM.?

又∵AM∥CC₁,∴DE₁∥CC₁.?

又∵D是BC中點,∴E₁是BC₁中點.?

∴DE₁=12CC₁=12AA₁.?

∴AM=12AA₁.?

∴MA=MA₁.