Question

如圖所示，在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB₁C₁C⊥底面ABC.

（1）若D是BC的中點.求證：AD⊥CC₁；

（2）過側面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側棱于M，若AM=MA₁，

求證：截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C.

Answer 1

證明略

解析:

（1）∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，交線為BC.

∴由面面垂直的性質定理，

可知AD⊥平面BB₁C₁C.

又∵CC₁平面BB₁C₁C，

∴AD⊥CC₁.

（2）取BC₁的中點E，連接DE、ME.

在△BCC₁中，D、E分別是BC、BC₁的中點，

∴DECC₁.又AA₁  CC₁，∴DEAA₁.

∵M是AA₁的中點（由AM=MA₁知），∴DEAM.

∴四邊形AMED是平行四邊形，∴ADME.

由（1）知AD⊥平面BB₁C₁C.

∴ME⊥平面BB₁C₁C.

又∵ME平面BMC₁，

∴平面BMC₁⊥平面BB₁C₁C.