Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，M為平面上任一點，A，B，C三點滿足

．

（1）求的值；

（2）已知A(1,sinx)、B(1+sinx,sinx)，M(1+sinx,sinx)，x∈(0,π)，且函數(shù)

的最小值為，求實數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）

【解析】分析：(1) 先化簡得,即得,進而得結(jié)果， (2)根據(jù)向量數(shù)量積以及向量的模化簡函數(shù)解析式得f（x）=sin2x+2msinx+1，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論最小值取法，最后根據(jù)最小值求m值.

詳解：（1）解：由=+，得﹣=2（﹣），

∴=2，且、有公共點C，

∴A，B，C三點共線，如圖所示；∴===3；

（2）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），

∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）

∴函數(shù)f（x）=+（2m﹣）||

=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）sinx

=sin2x+2msinx+1；

設(shè)sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），

∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；

討論﹣m＜0即m＞0時，此時y沒有最小值；

當0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0時，當t=﹣m有ymin=1﹣m2=，

解得m=﹣；

當﹣m＞1即m＜﹣1時，此時y沒有最小值；

綜上，得m=﹣．