Question

【題目】有2002名運動員，號碼依次為．從中選出若干名運動員參加儀仗隊，但要使剩下的運動員中沒有一個人的號碼數等于另外兩人的號碼數的乘積．那么，被選為儀仗隊的運動員至少能有多少人？給出你的選取方案，并簡述理由．

Answer 1

【答案】43

【解析】

可選出號碼為這43名運動員為儀仗隊員作為選取方案，即可滿足題目要求．

理由如下：

因為選出這43名運動員作儀仗隊員后，剩下運動員的號碼（除1號外）的任何兩個號碼數的積將大于．而1與任何一個號碼數相乘不會等于第三個不同的數，所以，剩下的運動員中沒有一個人的號碼數等于另外兩人的號碼數的乘積．

現在證明：43是選為儀仗隊的運動員的最少人數．也就是證明：當選取42個運動員為儀仗隊員后，余下的隊員中至少有這樣的三個號碼數，其中兩個號碼數的乘積等于第三個號碼數．為此，我們考察三元數組：．

即共43組．

因為函數在上是單調遞增的，所以，寫出的數目是不同的，并且都不超過．這樣的三元數組的個數為43．如果選出的運動員少于43個，至多為42個，上述43個三元數組中，至少要有一組三個數沒被選．則這三個數作為剩下的運動員的號碼，其中一個數等于另外兩個數的乘積，就不滿足題設條件的要求了．所以，選為儀仗隊的運動員至少要有43個．