Question

【題目】如圖所示，已知為圓的直徑，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且．點在圓所在平面上的正投影為點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題（1）先利用平面幾何知識與線面垂直的性質證線線垂直，由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到線線垂直；（2）建立空間坐標系，利用向量法求解即可．

試題解析：(1)如圖,連接，

由知，點為的中點，

又∵為圓的直徑，

∴，

由知，，

∴為等邊三角形，從而．

∵點在圓所在平面上的正投影為點，

∴平面，又平面，

∴，

由得，平面，

又平面，

∴．

（2）以為原點，、和的方向分別為軸、軸和軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一個法向量為．

設平面的一個法向量為，則

，即，令，則，，

∴，

設二面角的平面角的大小為，

則，

∴二面角的余弦值為．