Question

【題目】△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知1+ = ． （I）求A；
（Ⅱ）若BC邊上的中線AM=2 ，高線AH= ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（I）∵在△ABC中1+ = ，∴1+ = ， ∴ = ，∴ = ，
∴ = ，∴由正弦定理可得 = ，
∴cosA= ，∵A∈（0，π），∴A= ；
（Ⅱ）由題意和勾股定理可得MH= = ，
以M為原點，BC的垂直平分線為y軸建立如圖所示的坐標系，
并設C（a，0），則B（﹣a，0），其中a＞0，
則由題意可得A（ ， ），cos＜ ， ＞=cos = ，
又可得 =（﹣a﹣ ，﹣ ）， =（a﹣ ，﹣ ），
由數量積可得（﹣a﹣ ）（a﹣ ）+3= ，
整理可得a4﹣20a2+64=0，故（a2﹣4）（a2﹣16）=0，解得a2=4或a2=1
經驗證當a2=16時矛盾，應舍去，故a2=4，a=2，
故可得△ABC的面積S= BCAH= ×4× =2 ．

【解析】（I）由和三角函數公式和正弦定理可得cosA= ，A= ；（Ⅱ）可得MH= ，以M為原點，BC的垂直平分線為y軸建系，由向量的數量積可得a的方程，解得a2=4，a=2，代入三角形的面積公式計算可得．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．