Question

【題目】設(shè)某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù)，已知T（t）=t3+at2+bt+c，其中溫度的單位是℃，時間的單位是小時，規(guī)定中午12：00相應(yīng)的t=0，中午12：00以后相應(yīng)的t取正數(shù)，中午12：00以前相應(yīng)的t取負數(shù)（例如早上8：00對應(yīng)的t=﹣4，下午16：00相應(yīng)的t=4），若測得該物體在中午12：00的溫度為60℃，在下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率．
（1）求該物體的溫度T關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，T′（t）=3t2+2at+b，當t=0時，T（t）=60；

當t=1時，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），

故有c=60，1+a+b+c=58，3（﹣4）2+2a（﹣4）+b=342+2a4+b，

解得a=0，b=﹣3，c=0，∴T（t）=t3 ﹣3t+60，（﹣12≤t≤12）

（2）解：該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點），即﹣2≤t≤2，T′（t）=3t2﹣3，

故當t∈[﹣2，﹣1）、（1，2]時，T′（t）=3t2﹣3＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；故當t∈[﹣1，1]時，T′（t）=3t2﹣3≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，

故當t=﹣1時，函數(shù)取得極大值為T（﹣1）=64，而區(qū)間[﹣2，2]的端點值T（﹣2）=58，T（2）=62，

故函數(shù)T（t）=t3+at2+bt+c在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為64，

故上午11點溫度最高為64°

【解析】（1）由題意可得當t=0時，T（t）=60；當t=1時，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），由此求得待定系數(shù)a、b、c的值，可得函數(shù)的解析式．（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．