Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，，已知求證：

（Ⅲ）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

【解析】

試題（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，把恒成立轉(zhuǎn)化為最值；（Ⅱ）可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明；（Ⅲ）通過(guò)放縮法來(lái)解決與的大小比較問(wèn)題.

試題解析：(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b

∴

∴

要使函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù)，則在定義域（0，+∞）內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，

當(dāng)a=0時(shí)，在（0，+∞）內(nèi)恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)，恒成立，則∴

當(dāng)a<0時(shí)，恒成立

∴a的取值范圍是:

(Ⅱ)∴a=1 則：

于是

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即也成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，

綜上得對(duì)所有時(shí)，都有

（Ⅲ）由（2）得

于是

所以，

累乘得：則

所以