Question

【題目】已知.

（I）若，求曲線在點處的切線方程.

（II）若，求函數的單調區間.

（III）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ) ．

【解析】試題分析：(1)由題意易得， ，根據點斜式得到曲線在點處的切線方程；（2），對分類討論明確相應不等式的解集，即可得到函數的單調區間；（3）不等式恒成立等價于在上恒成立，變量分離即在上恒成立。轉求的最大值即可.

試題解析：

（I）∵，∴，

∴，

∴，

又，所有切點坐標為．

∴所求切線方程為，

即．

（II），

由，得或．

（）當時，由，得；

由，得或，

此時的單調遞減區間為，

單調遞增區間為和．

（）當時，由，得；

由，得或．

此時的單調遞減區間為，

單調遞增區間為和．

綜上：當時， 的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

當時， 的單調遞減區間為，

單調遞增區間為和．

（III）依題意，不等式恒成立，

等價于在上恒成立，

可得在上恒成立，

設，

則．

令，得， （舍），

當時， ；

當時， ，

當變化時， ， 變化情況如下表：

	單調遞增		單調遞減

∴當時， 取得最大值，

，∴．

∴的取值范圍是．