Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米,/小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度v是車流密度的一次函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；
(Ⅱ)當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)） 可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0,200]上取得最大值.即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).

解析試題分析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)
再由已知得，解得故函數(shù)的表達(dá)式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[20,200]上取得最大值.
綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0,200]上取得最大值.即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).
考點(diǎn)：函數(shù)模型，均值定理的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，函數(shù)的應(yīng)用問題，要注意遵循“審清題意，設(shè)出變量，列出關(guān)系式，解，答”。確定函數(shù)的最值問題，較為常用的方法有，均值定理、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。應(yīng)用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。