Question

函數y=log2[

1

2

-cos(2x+

π

4

)]在（0，π）上的單調遞增區間為

（

π

24

，

3π

8

]

．

Answer 1

分析：由

1

2

-cos（2x+

π

4

）＞0，x∈（0，π）可求得x的取值范圍，利用復合函數的單調性，只需求此時y=cos（2x+

π

4

）的單調遞減區間即可．

解答：解：由對數的意義知，

1

2

-cos（2x+

π

4

）＞0，
∴cos（2x+

π

4

）＜

1

2

，
∴2kπ+

π

3

＜2x+

π

4

＜

5π

3

+2kπ，k∈Z．
∴kπ+

π

24

＜x＜

17π

24

+kπ，
∵0＜x＜π，
∴

π

24

＜x＜

17π

24

；①
要求函數y=log2[

1

2

-cos(2x+

π

4

)]在（0，π）上的單調遞增區間，
由于y=log₂x為增函數，由復合函數的單調性（同增異減）知，
需求g（x）=

1

2

-cos（2x+

π

4

）在g（x）＞0條件下的遞增區間，即y=cos（2x+

π

4

）在cos（2x+

π

4

）＜

1

2

的遞減區間；
由2kπ≤2x+

π

4

≤π+2kπ，k∈Z．
得kπ-

π

8

≤x≤

3π

8

+kπ，
∴y=cos（2x+

π

4

）的單調遞減區間為[kπ-

π

8

，

3π

8

+kπ]，k∈Z．②
又0＜x＜π，
∴0≤x≤

3π

8

或

7π

8

≤x＜π②
由①②得：

π

24

＜x≤

3π

8

．
∴y=log2[

1

2

-cos(2x+

π

4

)]在（0，π）上的單調遞增區間為（

π

24

，

3π

8

]，
故答案為：（

π

24

，

3π

8

]．

點評：本題考查復合三角函數的單調性，考查對數函數的性質與余弦函數的單調性，屬于中檔題．