Question

21．（本小題滿分14分）
設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且是和的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)（均為正整數(shù)）時(shí)，求和的所有可能的乘積之和；
（3）設(shè)，求證：．

Answer 1

,

21．（本小題滿分14分）
(考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式的證明、數(shù)列的求和等知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想)
解:（1）∵是和的等差中項(xiàng)，
∴，                   ①                   ………分
當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，
　　.　②
①－②得   ，
∴ ，
∴ ，
∴   .
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴   .                                     …………分
（2）由和的所有可能乘積可構(gòu)成下表：
，，，…，，
，，…，，
，…，，
………………
              ……分
構(gòu)造如下行列的數(shù)表：
，，，…，，
，，，…，，
，，，…，，
………………
，，，… ，，              
設(shè)上表第一行的和為，則
.
于是

.
∴ .                    …………分
(3)∵，
∴，         …………分
∴

.
∵，
∴.
即.                                            …………分