Question

(理)如圖,在四棱錐P—ABCD中,側面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直,底面ABCD是矩形,E是AB的中點,PC與平面ABCD所成的角為30°.

(1)若平面PAB∩平面PCD=l,試判斷直線l與平面ABCD的關系,并加以證明;

(2)求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小;

(3)當AD為多長時,點D到平面PCE的距離為2?

(文)在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,BB₁=2AB=4,E、F分別是棱AB與BC的中點.

(1)求二面角EFB₁B的平面角的正切值.

(2)在棱DD₁上能否找到一點M,使BM⊥平面B₁EF?若能,試確定M的位置;若不能,請說明理由.

Answer 1

解：(理)(1)l與面ABCD平行.證明:∵DC∥AB,DC面PAB,∴DC∥面PAB.∵DC面PDC,面PAB∩面PCD=l,∴l∥DC.又l面ABCD,DC面ABCD,∴l∥面ABCD.

(2)由(1),可知面PAB∩面PCD=l.∵面PAD⊥面ABCD,ABCD為矩形,∴AB⊥面PAD.∵l∥DC∥AB,∴l⊥面PAD.∴l⊥AD.同理,l⊥AP.∴∠PAD為面PAB與面PDC所成二面角的平面角.∵△PAD是正三角形,∴面PAB與面PDC所成二面角大小為60°.

(3)設AD的中點為F,且AD=a,則PF⊥AD.∴∠PCF=30°.∴PF=a.∴CF=a,CD=a.

由V_D—PEC=V_P—DEC,得S_△DEC·PF=S_△PEC·2.∴·a·a·=2·S_△PEC,①

易求PE=EC=a,PC=a.∴S_△PCE=|PC|.②

由①②,得a=.

(文)(1)過B點作BG⊥B₁F,垂足為G點,連結EG.∵EB⊥面BB₁C₁C,根據三垂線定理,知∠EGB即為所求二面角的平面角.

EB=AB=1,BG=.∴tan∠EGB=,二面角EFB₁B的平面角的正切值為.

(2)設存在M點.

EF∩DB=H.已知BD=,BH=.∵EF⊥面BB₁D₁D,∴EF⊥B₁H,EF⊥BM.在如圖所示的截面中,BM⊥B₁H,

∴tanθ=.∴DM=,即存在點M,且D₁M=或DM=.