Question

（08年重點中學模擬理）  （12分）如圖，在四棱錐P―ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD//BC且AD>BC，∠DAB=∠ABC=90°，PA=，AB=BC=1。M為PC的中點。

   （1）求二面角M―AD―C的大小；

   （2）如果∠AMD=90°，求線段AD的長。

 

 

Answer 1

解析：（1）取AC的中點H，連MH，則MH//PA，所以MH⊥平面ABCD，過H作HN⊥AD于N，連MN，由三垂線定理可得MN⊥AD，

則∠MNH就為所求的二面角的平面角。………………2分

   AH

   在Rt△ANH中，

   則在Rt△MHN中，

故所示二面角的大小為………………6分

（2）若AM⊥MD，又因為PA=AC=，M為PC的中點，

則AM⊥PC，所以AM⊥平面PCD，則AM⊥CD。………………8分

AM在平面ABCD的射影為CD，由三垂線定理可知其等價于AC⊥CD，…………10分

此時△ACD為等腰直角三角形，所以AD=AC=2。………………12分