Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=

1

(4-log2a2n)(5-log2a2n+1)

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證：S_n≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，即可求出a₃和a₅，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先把（1）的結(jié)論代入整理出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，∴a₃a₅=4，
又∵a₃+a₅=5，q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，解得q=

1

2

，
∴a_n=2^5-n；
（2）證明：b_n=

1

(4-log2a2n)(5-log2a2n+1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

即S_n≤

1

2

成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)列求和的裂項(xiàng)法，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，屬于中檔題．