Question

【題目】已知函數f (x)＝a lnx＋＋x (a≠0)．

(1)若曲線y＝f (x)在點(1，f (1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實數a的值；

(2)討論函數f (x)的單調性．

Answer 1

【答案】(1) a＝－1或a＝.

(2) 當a>0時,f(x)在(a,＋)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減．當a<0時,所以函數f(x)在(0,－2a)上單調遞減,在(－2a,＋)上單調遞增.

【解析】分析：（1）先求出f′（x）=﹣+1，（x＞0），由題意得：f′（1）=﹣2，解方程求出即可；（2）求出f′（x）=，（x＞0），討論①a＞0時，②a＜0時的情況，從而求出函數的單調區間；（3）由（2）得，當a∈（﹣∞，0）時，函數f（x）的最小值為f（﹣2a），故g（a）=f（﹣2a），得g′（a）=ln（﹣2a）﹣2，得g（a）在（﹣∞，﹣e2）遞增，在（﹣e2，0）遞減，從而g（a）最大值=e2，進而求出g（a）的最大值．

詳解：

(1)f(x)的定義域為{x|x>0}．f′(x)＝－＋1 (x>0)．

根據題意,有f′(1)＝－2,所以2a2－a－3＝0,解得a＝－1或a＝

(2)解：　f′(x)＝－＋1＝＝(x>0)．

當a>0時,因為x>0,

由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>a；

由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<a.

所以函數f(x)在(a,＋)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減．

當a<0時,因為x>0,

由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>－2a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<－2a

所以函數f(x)在(0,－2a)上單調遞減,在(－2a,＋)上單調遞增．

所以：當a>0時,f(x)在(a,＋)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減．當a<0時,所以函數f(x)在(0,－2a)上單調遞減,在(－2a,＋)上單調遞增.