Question

【題目】已知函數.

(1)求證：方程有實根；

(2)在上是單調遞減函數，求實數的取值范圍；

(3)當時，關于的不等式的解集為空集，求所有滿足條件的實數的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）要證的實根，設，也就是證明方程有非負實數根，而，故可設的兩根為，利用根據與系數的關系，即可求解；

（2）由題設值對任意的時，恒成立，對分類討論，對任意的，集合函數的單調性即可求出實數的取值范圍；

（3）由題意知，當時，恒成立，記，對分類：若，則，從而求出滿足條件的實數的值．

詳解：(1)要證x4－2ax2－1＝0有實根，也就是證明方程t2－2at－1＝0有非負實數根．

而Δ＝4a2＋4>0，故可設t2－2at－1＝0的兩根為t1、t2.

t1t2＝－1<0，∴t1、t2一正一負．

∵方程t2－2at－1＝0有正根，

∴方程f(x)＝1有實根．

(2)由題設知對任意的x∈[0,1]，

h′(x)＝f ′(x)－1＝4x3－4ax－1≤0恒成立，x＝0時顯然成立；

對任意的0<x≤1，a≥x2－，∴a≥(x2－)max，

而g(x)＝x2－在(0,1]上單調遞增，∴a≥g(1)＝，∴a的取值范圍為[，＋∞)．

(3)由題設知，當x∈[0,1]時，|4x3－4ax|≤1恒成立．記F(x)＝4x3－4ax，

方法1：若a≤0，則F(1)＝4－4a≥4，不滿足條件；

故a>0，而

①當<1即0<a<3時，F(x)在[0，]上遞減，在[，1]上遞增，

于是，解得a＝.

②當≥1，即a≥3時，F(x)在[0,1]上遞減，于是|F(x)|max＝－F(1)＝4a－4≥8，

與題意矛盾．

綜上所述a＝.

方法2：(分離參數法)因為|4x3－4ax|≤1，所以－1≤4x3－4ax≤1，x＝0時顯然成立；

對任意的

由(2)知且時取等號)，