Question

【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥平面BCE；

(2)求證：AE∥平面BFD；

(3)求三棱錐C－BGF的體積．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）

【解析】

(1)證明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC.

又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，

又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.

(2)證明　由題意可得G是AC的中點，連結FG，

∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.

而BC＝BE，∴F是EC的中點，

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD.

(3)∵AE∥FG.

而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCF.

∵G是AC中點，F是CE中點，

∴FG∥AE且FG＝AE＝1.

∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝，

∴S△CFB＝××＝1.

∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝.