Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立適當的坐標系，并寫出點B，P的坐標；
(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值；
(3)若PB的中點為M，求證：平面AMC⊥平面PBC.

Answer 1

(1)如圖所示，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D－xyz.
∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2，
∴P(0,0,2)．
(2)∵＝(2,0，－2)，
＝(－2，－3,0)，
∴cos<，>＝
＝－，
所以PA與BC所成角的余弦值為
(3)證明：∵M為PB的中點，
∴點M的坐標為(1,2，)，
∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，
＝(2,4，－2)，
∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，
·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，
∴⊥，⊥，∴PB⊥平面AMC
∵PB?平面PBC
∴平面AMC⊥平面PBC .  

略