Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2x+5，令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）
（1）若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=﹣x2+2x+5，

∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x2﹣2ax﹣5的圖像是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，

若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，

則a≤0

（2）解：∵g（x）=x2﹣2ax﹣5的圖像是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，

若a＜0，則當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值﹣5，

若0≤a≤2，則當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值﹣a2﹣5，

若a＞2，則當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值﹣4a﹣15，

綜上所述：g（x）min=

【解析】g（x）=x2﹣2ax﹣5的圖像是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，（1）若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，則a≤0； （2）分類討論給定區(qū)間與對稱軸x=a的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．