Question

【題目】設函數， ．

（1）求的單調區間和極值；

（2）證明：若存在零點，則在區間上僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是；極小值；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值、函數零點問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.（Ⅰ）先對求導，令解出，將函數的定義域斷開，列表，分析函數的單調性，所以由表格知當時，函數取得極小值，同時也是最小值；（Ⅱ）利用第一問的表，知為函數的最小值，如果函數有零點，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數有幾個零點.

試題解析：（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

與在區間上的情況如下：

所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；

在處取得極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區間上的最小值為.

因為存在零點，所以，從而.

當時，在區間上單調遞減，且，

所以是在區間上的唯一零點.

當時，在區間上單調遞減，且，，

所以在區間上僅有一個零點.

綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點.