（14分）（2011•廣東）設a＞0，討論函數f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的單調性．
見解析
解析試題分析：求出函數的定義域，求出導函數，設g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），討論a=1，a＞1與0＜a＜1三種情形，然后利用函數的單調性與導函數符號的關系求出單調性．
解：定義域{x|x＞0}
f′（x）=
=
設g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，則g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數．
②若a＞1則2a（1﹣a）＜0，g（x）的圖象開口向下，
此時△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0
方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根為x1=
，x2=
且x1＜0＜x2
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數；
③若0＜a＜1則2a（1﹣a）＞0，g（x）的圖象開口向上，
此時△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）
可知當
≤a＜1時，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函數；
當0＜a＜
時，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根滿足
＞
＞0
故在（0，）和（
，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數；
在（
，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數．
點評：本題考查利用導函數討論函數的單調性：導函數為正函數遞增；導函數為負，函數遞減，同時考查了分類討論的數學思想方法，屬于難題．
名師伴你成長課時同步學練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
記函數fn(x)＝a·xn－1(a∈R，n∈N*)的導函數為f′n(x)，已知f′3(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)設函數gn(x)＝fn(x)－n2ln x，試問：是否存在正整數n使得函數gn(x)有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由；
(3)若實數x0和m(m>0且m≠1)滿足
＝
，試比較x0與m的大小，并加以證明．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
滿足如下條件：當
時，
，且對任
意
，都有
.
（1）求函數的圖象在點
處的切線方程；
（2）求當
，
時，函數的解析式；
（3）是否存在
，
、
、
、
、
，使得等式
成立？若存在就求出
（、、、、），若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調區間；
(2)若函數y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數g(x)＝x3＋x2
(f′(x)是f(x)的導數)在區間(t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍；
(3)求證：
×…×
<
(n≥2，n∈N*)．
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，函數
的導函數
，且
，其中
為自然對數的底數．
的極值；
，使得不等式
成立，試求實數
的取值范圍；
．
在
處的切線與直線
平行，求a的值；
時，求
的單調區間．
（
）
時，求函數
的極值；（2）當
時，討論
．
，求曲線
在點
處的切線方程；
的單調區間；
．若至少存在一個
，使得
成立，求實數
的取值范圍．
.
時，求函數
的單調區間；
時，函數
圖象上的點都在
所表示的平面區域內，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍． [來源:學科