Question

已知橢圓內(nèi)有圓，如果圓的切線與橢圓交A、B兩點，且滿足（其中為坐標原點）．
（1）求證：為定值；
（2）若達到最小值，求此時的橢圓方程；
（3）在滿足條件（2）的橢圓上是否存在點P，使得從P向圓所引的兩條切線互相垂直，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）方法1：設(shè)圓的切線的切點坐標為，則切線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：．
設(shè)，因，所以，又，，所以．（*）
將代入（*）得
，
因，因此，所以（定值）.
方法2：設(shè)切線的方程為，則有
，
所以.
因，所以，即
（定值）．
（2）因，
所以．
當時取到最小值，此時橢圓的方程為．
（3）如果存在滿足條件的點P，則向圓引兩條切線，切點分別為M、N，連結(jié)OM、ON，則，如果，則四邊形OMPN為正方形，所以，因為橢圓上到中心最近的點為短軸的端點，距離為，故存在四個點滿足條件，其坐標為，即．

略