Question

直線y＝ax＋1與雙曲線＝1相交于A，B兩點．

　　（1）當a為何值時，以AB為直徑的圓過原點?

　　（2）是否存在實數a，使兩交點A、B關于直線y＝x對稱?如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  （1）以AB為直徑的圓過原點，也就是已知OA⊥OB，從而得到＋＝0，這是解決問題的關鍵． 　　（2）如果存在實數a使A、B關于y＝x對稱，也就是直線y＝x是AB的垂直平分線，從而解得a，且AB的中點M即為AB與直線y＝x的交點，則M點的坐標必須滿足y＝x，以此來判斷是否存在． 解  （1）由 消去y，得 　　－2ax－2＝0                        ① 　　設A（，），B（，）， 　　以AB為直徑的圓過原點＋＝0． 　　由方程①得 　　＋＝，＝ 　　＝（a＋1）（＋1） 　　     ＝a（＋）＋＋1 　　     ＝1． 　　把得到的與代入＋＝0中，有 　　＝0， 　　故a＝±1． 　　（2）設A，B關于直線y＝x對稱， 　　則AB的垂直平分線方程為y＝x，且AB中點M（，）在直線y＝x上， 　　∴  a＝－2． 　　由消去y，得－4x＋2＝0，則． 　　代入y＝－2x＋1得＝－3． 　　∵  M（2，－3）不在直線y＝x上，即AB中點M不在直線y＝x上，故這樣的實數a不存在． 點評  “設而不求”即點差法是求參數取值范圍時經常使用的方法，涉及到中點坐標時可考慮使用此法．對稱性問題是近幾年高考的熱點，應引起足夠重視．