Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可得圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.

（Ⅱ）化簡式子，可得在上恒成立，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合分類討論的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，，然后計(jì)算，可得結(jié)果.

（Ⅰ）令，故，顯然，

故，令，

故，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

作出函數(shù)的圖像如下所示；

觀察可知，時(shí)滿足題意，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（Ⅱ）依題意：，

即在上恒成立，

令，，

則，

令，即，則；

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，

對于任意，，

故在上單調(diào)遞減；

對于任意，，

故在上單調(diào)遞增；

因此當(dāng)時(shí)，

有最小值為，

即

此時(shí)；

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

對于任意，，

故在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，所以，即；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.