Question

已知某海濱浴場的海浪高度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，記作y=f（t），下表是某日各時的浪高數據：

t/時	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/米	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

經長期觀測，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數y=Acosωt+b．
（1）求函數y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函數表達式．
（2）依據規定：當海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）的結論，一天內的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動．

Answer 1

分析：（1）由圖表可知，函數的周期12，進而求出ω；根據最高和最低高度求得振幅A；根據當t=0時y=1.5代入解析式求出b，把A，b和ω代入函數，進而函數的解析式可得．
（2）依題意，當y＞1時，根據余弦函數的單調性求出t的范圍，可得答案．

解答：解：（1）由題意可得2T=24，∴T=12=

2π

ω

，解得ω=

π

6

，而振幅A=（1.5-0.5）÷2=0.5，
∴y=0.5cos

π

6

t+b，又當t=0時，y=1.5，∴0.5cos0+b=1.5，得b=1，
∴y=0.5cos

π

6

t+1；
（2）由0.5cos

π

6

t+1＞1，得cos

π

6

t＞0，∴2kπ-

π

2

＜

π

6

t＜2kπ+

π

2

，
解得12k-3＜t＜12k+3，k∈Z，而8＜t＜20，取k=1，得9＜t＜15，
∴可供沖浪者進行運動的時間為上午9：00時至下午15：00，共6小時．

點評：本題主要考查了根據函數的圖象特征確定函數y=Asin（ωx+φ）+b的解析式的問題．常利用函數的最大值和最小值，周期，f（0）等特殊值來求解解析式中的參數的值．