Question

【題目】已知橢圓C：，（a＞b＞0）過點（1，）且離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的右頂點為P，過定點（2，﹣1）的直線l：y＝kx+m與橢圓C相交于異于點P的A，B兩點，若直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

(1)根據題意列出關于滿足的關系式再求解即可.

(2)聯立直線與橢圓的方程,再設A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，0）,進而表達出直線PA，PB的斜率,再利用韋達定理化簡求解即可.

（1）由題意可得，解得a2＝4，b2＝1，

則橢圓的方程為y2＝1，

（2）由題意，過定點（2，﹣1）的直線l：y＝kx+m，

∴﹣1＝2k+m，

∴m＝﹣2k﹣1

A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，0）

聯立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．

△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝16（4k2﹣m2+1）＞0．

∴x1+x2，x1x2

∵直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，

∴k1+k2

kk2k2k2k﹣（2k﹣1）＝1