Question

若函數f（x）=2sin（ωx+φ）+m，對任意實數t，都有f(

π

8

+t)=f(

π

8

-t)，且f(

π

8

)=-3，則實數m的值等于

-5或-1

．

Answer 1

分析：由題意可得可知x=

π

8

是該函數的一條對稱軸，sin（ω

π

8

+φ）=1或-1．再由由f(

π

8

)=-3可得 2sin（ω

π

8

+φ）+m=-3，從而得到2+m=-3 或-2+m=-3，由此求得實數m的值．

解答：解：由f(

π

8

+t)=f(

π

8

-t)可知x=

π

8

是該函數的一條對稱軸，
故當x=

π

8

時，sin（ωx+φ）=1或-1，即sin（ω

π

8

+φ）=1或-1．
  又由f(

π

8

)=-3可得 2sin（ω

π

8

+φ）+m=-3，
∴2+m=-3 或-2+m=-3，∴m=-5或-1．
故答案為-5或-1．

點評：本題考查三角函數的圖象與性質，正弦函數的對稱性，得到2+m=-3 或-2+m=-3，是解題的關鍵，屬于中檔題．