Question

定義在R上的函數y=f（x）是減函數，y=f（x-1）的圖象關于（1，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），則當1≤s≤4時，

t

s

的取值范圍是

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：首先由由f（x-1）的圖象關于（1，0）中心對稱知f（x）的圖象關于（0，0）中心對稱，根據奇函數定義與減函數性質得出s與t的關系式，然后利用線性規劃的知識即可求得結果．

解答：解：把函數y=f（x）向右平移1個單位可得函數y=f（x-1）的圖象
∵函數y=f（x-1）得圖象關于（1，0）成中心對稱
∴函數y=f（x）的圖象關于（0，0）成中心對稱，即函數y=f（x）為奇函數
∵f（s²-2s）≤-f（2t-t²）=f（t²-2t）且函數y=f（x）在R上單調遞減
∴S²-2S≥t²-2t在S∈[1，4]上恒成立
即（t-s）（s+t-2）≤0
∵1≤s≤4
∴-2≤2-s≤1，即2-s≤s
∴2-s≤t≤s
作出不等式所表示的平面區域，如圖的陰影部分的△ABC，C（4，-2）
而

t

s

表示在可行域內任取一點與原點（0，0）的連線的斜率，結合圖象可知OB直線的斜率是最大的，直線OC的斜率最小
∵K_OB=1，K_OC=-

1

2

故

t

s

∈[-

1

2

，1]
故答案為：[-

1

2

，1]

點評：本題綜合考查函數的奇偶性、單調性知識，同時考查由最大值、最小值求取值范圍的策略，以及運算能力，屬中檔題