Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，是中點(diǎn)，平面，平面與棱交于點(diǎn)，，．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）若與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）先證明平面，再證明．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用向量證明，即證.(3)先利用向量法求得，再解方程即得的值.

（1）證明：在三棱柱 中，

側(cè)面 為平行四邊形，

所以 ．

又因?yàn)?平面，平面，

所以 平面．

因?yàn)?平面，且平面平面，

所以 ．

（2）證明：在△中，因?yàn)?/span> ，是的中點(diǎn)， 所以．

因?yàn)?/span>平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，在△中 ，，

所以 ，所以 ，，，．

所以 ，．

所以 ，所以 ．

（3）解：因?yàn)?/span> ， 所以 ，即．

因?yàn)?/span> ，所以 ．

設(shè)平面的法向量為 ，

因?yàn)?/span> ，即，

令 ，則，，

所以 ．

因?yàn)?

所以 ，即 ，

所以 或，即 或．