Question

【題目】設函數的定義域為， , 當時,, 則函數在區間上的所有零點的和為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據f（x）的對稱性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3條對稱軸，x=0，x=1，x=2，根據三角函數的對稱性可知y=|cos（πx）|也關于x=0，x=1，x=2對稱，故而g（x）在[﹣，]上3條對稱軸，根據f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函數圖象，判斷g（x）在[﹣，]上的零點分布情況，利用函數的對稱性得出零點之和．

∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）關于x=1對稱，

∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根與x=0對稱，

∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），

∴f（x）是以2為周期的函數，

∴f（x）在[﹣，]上共有3條對稱軸，分別為x=0，x=1，x=2，

又y=|cos（πx）關于x=0，x=1，x=2對稱，

∴x=0，x=1，x=2為g（x）的對稱軸．

作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函數圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1個零點．

又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7個零點，

設這7個零點從小到大依次為x1，x2，x3，…x6，x7．

則x1，x2關于x=0對稱，x3，x5關于x=1對稱，x4=1，x6，x7關于x=2對稱．

∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，

∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．

故選：A．