Question

已知f（x）=Asin（ωπx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜π），其導函數f′（x）的部分圖象如圖所示，則f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…f（2011）的值是（　　）

• A、-

  2012 2

  π

• B、

  2012 2

  π

• C、1
• D、0

Answer 1

分析：求出函數的導函數，利用導函數的圖象求出A、T、以及?，確定函數的解析式，然后推出f（0），f（1），f（2），f（3），…，f（2011）是以4為周期的周期數列，且f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0得到正確選項．

解答：解：函數f（x）=Asin（ωπx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜π），其導函數f′（x）=Aωπcos（ωπx+?），
所以Aωπ=2  T=4，所以ωπ=

2π

T

ω=

1

2

   A=

4

π

  因為導數圖象過（

1

2

，0），所以0=2cos（

π

4

+?），所以?=

π

4

，
f（x）=

4

π

sin（

1

2

πx+

π

4

），f（0）=

2

π

，f（1）=

2

π

，f（2）=-

2

π

，f（3）=-

2

π

，f（4）=

2

π

，…
所以f（0），f（1），f（2），f（3），…，f（2011）是以4為周期的周期數列，且f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=0
故選D

點評：本題是中檔題，考查三角函數的導數的求法，三角函數的解析式的求法，數列的知識，是綜合題目，注意圖象的信息的應用．