Question

（本小題滿分14分）
在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當E為AB的中點時，求三棱錐E-ACD₁的體積；
（3）AE等于何值時，二面角D₁—EC—D的大小為.

Answer 1

（1）  略
（2）  
（3）  

解法（一）
（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）（2）
（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，
∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角.
設AE=x，則BE=2－x


解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（3）設平面D₁EC的法向量，∴
由 令b="1," ∴c=2,a=2－x，
∴
依題意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=時，二面角D₁—EC—D的大小為.