Question

【題目】函數角度看，可以看成是以為自變量的函數，其定義域是.

（1）證明：

（2）試利用1的結論來證明：當為偶數時，的展開式最中間一項的二項式系數最大；當為奇數時的展開式最中間兩項的二項式系數相等且最大.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先根據組合數公式求出、，計算的值，從而證得結論；

（2）設，由（1）可得，令，可得

（等號不成立），故有當時，成立；

當時，成立.故最大，

當為奇數時，同理可證，從而證得結論.

（1）因為，又因為，

所以.

則成立.

（2）設，因為，，

所以.令，所以，

則（等號不成立），所以時，成立，

反之，當時，成立.

所以最大，即展開式最中間一項的二項式系數最大；

當為奇數時，設，其最中間有兩項且，

由（1）知，顯然，

，令，可得，

，當時，，且這兩項為二項展開式最中間兩項的系數，

所以時，成立；

由對稱性可知：當時，成立，

又，故當為奇數時，的展開式最中間兩項的二項式系數相等且最大.