Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓經過點，且點與橢圓的左、右頂點連線的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓上存在兩點，使得的垂心（三角形三條高的交點）恰為坐標原點，試求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意，得到，求出，即可得出橢圓方程；

（2）設，，根據題意，得到，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，根據判別式，以及根與系數關系，由題意，得到，求出，即可得出結果.

解：（1）由題意，得，

解得，所以橢圓的方程為.

（2）設，.因為，而，所以，

故可設直線的方程為.

聯立，消去，得，

首先，由得，解得.（*）

且，.

又，所以，得，

即，整理得，，

所以，

即，解得或（均適合（*）式）.

當時，直線恰好經過點，不能構成三角形，不合題意，故舍去.

所以直線的方程為.