Question

【題目】已知函數(shù) ， ． 在 上有最大值9，最小值4．
（1）求實數(shù) 的值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）若方程 有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) 的對稱軸為 ，又 ，所以 在 上單調遞增，
，解得
（2）解： ， ，令 ，則 ，
不等式 可化為 ，所以，問題等價于 在 上恒成立，
因為 ，則： ，所以：
（3）解：令 ，圖像如下：

則方程 有三個不同的實數(shù)根，等價于關于 的方程 有兩個不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1．將 整理成： ，
若一根等于1，一根大于0且小于1，將 代入得 ，此時， 只有唯一的根，不符要求，
所以，情況為：一根大于1，一根大于0且小于1，
令 ，則需滿足 ，解得 ．綜上所述： 為所求
【解析】(1)由一元二次函數(shù)的性質可得該二次函數(shù)的對稱軸為x=1，故可得 f ( x ) 在 x ∈ [ 3 , 4 ] 上單調遞增，結合二次函數(shù)圖像的特點限制邊界點的函數(shù)值進而得到關于a、b的方程組，解出其值即可。(2)由(1)的結果得到f(x) 的解析式，再由題意得到F（x）的解析式。利用整體思想設t=log2 x，根據(jù)已知的x的取值范圍得出t的取值范圍，由此已知的不等式即可轉化為 k ≤ + 1 在 t ∈ [ , 2 ] 上恒成立的問題，借助二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值情況即可得出結果。(3)利用數(shù)形結合法結合已知條件得出方程有兩個不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1，利用二次函數(shù)根的情況限制邊界點的函數(shù)值，進而得到關于λ 的不等式組解出其取值范圍即可。