Question

計算的最值時，我們可以將化成，再將分式分解成，然后利用基本不等式求最值；借此，計算使得對一切實數x都成立的正實數c的范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，將不等式的左邊進行分離為，這是積為定值的兩個式子的和．在x²+c=1時，即x²=-c+1≥0，它的最小值為2．此時c∈（0，1]．接下來討論當c＞1時和0＜c≤1的兩種情況下不等式左邊的最小值，再解這個最小值大于或等于，最后可得正實數c的范圍．
解答：解：根據已知條件給出的模型，得到啟發：

=
當且僅當時等號成立，此時x²+c=1
①當c＞1時，x²+c＞1，以上不等式的等號不能成立，
所以的最小值應該是x=0時的值，即
因此不等式對一實數x都成立，符合題意．
②當0＜c≤1時，
若要使得對一切實數x都成立
必須有：2成立，可得
⇒⇒c=1
綜上所述，c∈[1，+∞）
故答案為：[1，+∞）
點評：本題以不等式恒成立和函數的最值為載體，考查了類比推理的方法，屬于中檔題．歸納推理與類比推理都屬于合情推理，是數學發現的常用推理過程．