Question

（2008•上海一模）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過方差的概念，其計(jì)算公式為

σ

2

=

1

N

[(x1-μ)2+(x2-μ)2+…+(xn-μ)2]，并且知道，其中μ=

1

N

(x1+x2+…+xn)為x₁、x₂、…、x_n的平均值．
類似地，現(xiàn)定義“絕對(duì)差”的概念如下：設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂、…、x_n，稱函數(shù)g（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+…+|x-x_n|為此n個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)差．
（1）設(shè)有函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-1|+|x-2|，試問當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)g（x）取到最小值，并求最小值；
（2）設(shè)有函數(shù)g（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+…+|x-x₂|，（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R），
試問：當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)g（x）取到最小值，并求最小值；
（3）若對(duì)各項(xiàng)絕對(duì)值前的系數(shù)進(jìn)行變化，試求函數(shù)f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）的最值；
（4）受（3）的啟發(fā)，試對(duì)（2）作一個(gè)推廣，給出“加權(quán)絕對(duì)差”的定義，并討論該函數(shù)的最值（寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論法化簡g（x）然后做出其圖象依據(jù)圖象即可求出最小值．
（2）將g（x）首尾兩項(xiàng)結(jié)合再利用絕對(duì)值的幾何意義可得當(dāng)x取中間的數(shù)時(shí)g（x）最小而中間的數(shù)要視n的奇偶性而定故要對(duì)n的奇偶性討論．
（3）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論法化簡f（x）然后做出其圖象依據(jù)圖象的性質(zhì)即可求出最值．
（4）根據(jù)函數(shù)f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）可知由于3+2+（-4）=1＞0則f（x）_min存在f（x）_max不存在故可構(gòu)造函數(shù)f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R）為n個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_n的加權(quán)絕對(duì)值然后結(jié)合a₁+a₂+…+a_n的取值情況給出結(jié)論即可．

解答：解：（1）g(x)=

2-3x，x＜-1 4-x，-1≤x＜1 2+x，1≤x＜2 3x-2，x≥2

，由單調(diào)性可知（或由圖象可知）
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值，g（x）_min=g（1）=3；
（2）若n為奇數(shù)，則當(dāng)x=

x

n+1 2

時(shí)，有g(x

)

min

=g(

x

n+1 2

)=

n

i= n+1 2 +1

x

i

-

n+1 2 -1

i=1

x

i

，
若n為偶數(shù)，則當(dāng)x∈[

x

n 2

，

x

n 2 +1

]時(shí)，有g(x

)

min

=g(

x

n 2

)=

n

i= n 2 +1

x

i

-

n+1 2

i=1

x

i

（3）由y=f(x)=

-x-27，x＜-3 5x-11，-3≤x＜1 9x-13，1≤x＜5 x+27，x≥5

⇒f（x）_min=f（-3）=-26，f（x）_max不存在．
（4）設(shè)a₁，a₂，…，a_n為實(shí)數(shù)，定義函數(shù)f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R）為n個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_n的加權(quán)絕對(duì)值；
以下求該函數(shù)的最值：
f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|=

-( a   1 + a   2 +… a   n )x+( a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n )x≤ x   1 [ a   1 -( a   2 +…+ a   n )]x+(- a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n ) x   1 ＜x≤ x   2 … ( a   1 + a   2 +… a   n )x-( a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n )x＞ x   n

當(dāng)a₁+a₂+…+a_n＜0時(shí)，f（x）_max=max{f（x₁），f（x₂），…，f（x_n）}，f（x）_min不存在；
當(dāng)a₁+a₂+…+a_n＞0時(shí)，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂），…，f（x_n）}，f（x）_max不存在；
當(dāng)a₁+a₂+…+a_n=0時(shí)，

f(x )   max =max{f( x   1 )，f( x   2 )，…，f( x   n )}， f(x )   min =min{f( x   1 )，f( x   2 )，…，f( x   n )}.

點(diǎn)評(píng)：本題屬新定義題．解題的關(guān)鍵是要分析新定義的內(nèi)容，然后結(jié)合現(xiàn)有的知識(shí)去進(jìn)行求解；比如第一問、第三問；而第二第四問分別是第一第三問的推廣這要求對(duì)第一第三問分析理解透徹．