Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過、、三點．

（1）求橢圓的方程：

（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當內切圓的面積最大時。求內切圓圓心的坐標；

（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．

Answer 1

,

解析:

解：（1）設橢圓方程為

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.

∴橢圓的方程                                                                                        

（2），設邊上的高為

             當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．

             設的內切圓的半徑為，因為的周長為定值6．所以，

               所以的最大值為．所以內切圓圓心的坐標為                     

（3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理．

得．

設直線與橢圓的交點，

由根系數的關系，得．

直線的方程為：，它與直線的交點坐標為

同理可求得直線與直線的交點坐標為．

下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標相等：

，

因此結論成立．

綜上可知．直線與直線的交點住直線上．                       

法二：直線的方程為：

由直線的方程為：，即

由直線與直線的方程消去，得

        

        

∴直線與直線的交點在直線上．