Question

已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期為π，
且對一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4；
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若g（x）=f（

π

6

-x），求函數g（x）的單調增區間；
（3）若函數y=f（x）-3的圖象按向量

c

=（m，n） （|m|＜

π

2

）平移后得到一個奇函數的圖象，求實數m、n的值．

Answer 1

分析：（1）由輔助角公式，我們可將函數解析式化為正弦型函數的形式，結合函數f（x）的周期為π，對一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4，我們可以構造a，b，ω的方程，求出a，b，ω的后，即可得到函數f（x）的表達式；
（2）根據g（x）=f（

π

6

-x），求出函數g（x）的解析式，進而根據正弦型函數的單調性，確定函數g（x）的單調增區間；
（3）根據正弦型函數的平移法則，我們可以求出函數y=f（x）-3的圖象按向量

c

=（m，n）平移后得到的圖象，由其為奇函數，故原點為其對稱中心，根據正弦函數的對稱性，易得到實數m、n的值．

解答：解：（1）∵f(x)=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ)，又周期T=

2π

ω

=π∴ω=2
∵對一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4
∴

a2+b2 =4 asin π 6 +bcos π 6 =4

解得：

a=2 b=2 3

∴f（x）的解析式為f(x)=2sin2x+2

3

cos2x=4sin(2x+

π

3

)
（2）∵g(x)=f(

π

6

-x)=4sin[2(

π

6

-x)+

π

3

]=4sin(-2x+

2π

3

)=-4sin(2x-

2π

3

)（3）
∴g（x）的增區間是函數y=sin(2x-

2π

3

)的減區間
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

2π

3

≤2kπ+

3π

2

得g（x）的增區間為[kπ+

7π

12

，kπ+

13π

12

]（k∈Z）（等價于[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．
（3）m=

π

6

，n=3

點評：本題考查的知識點是正弦型函數解析式的求法，正弦型函數的單調性，正弦型函數的圖象變換，其中（1）的關鍵是根據已知構造a，b，ω的方程，（2）的關鍵是求出函數g（x）的解析式，（3）的關鍵是利用函數的對稱性，得到原點為其對稱中心．