Question

【題目】已知橢圓的離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)A與拋物線的焦點(diǎn)重合．

1求橢圓C的方程；

2是否存在直線l，使得直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓C的右焦點(diǎn)F恰為的垂心三條高所在直線的交點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，又因?yàn)殡x心率為，可求出，的值，得到橢圓方程．

（2）先假設(shè)存在直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心．設(shè)出，坐標(biāo)，由（1）中所求橢圓方程，可得，點(diǎn)坐標(biāo)，利用若為的垂心，則，就可得到含，，，的等式，再設(shè)方程為，代入橢圓方程，由已知條件能求出結(jié)果．

解：1橢圓的離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)A與拋物線的焦點(diǎn)重合．

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

由已知得，再由，

解得，

橢圓方程為．

2設(shè)，，，，

，是垂心，

設(shè)MN的方程為，

代入橢圓方程后整理得：

，

將代入橢圓方程后整理得：，

，是垂心，，

，，，

整理得：，

，

或舍

存在直線l，其方程為使題設(shè)成立．