Question

【題目】設函數．

（）若，求函數的單調區間．

（）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍．

（）過坐標原點作曲線的切線，證明：切點的橫坐標為．

Answer 1

【答案】（）單調減區間為，單調增區間為．（）（）見解析

【解析】試題分析：（1）當時，求出函數的導函數，分別令和，解出不等式得單調區間；（2）函數在區間上是減函數，即對任意恒成立，利用分離參數法可得最后結果；（3）設切點為，對函數進行求導，根據導數的幾何意義得，根據切線過原點，可得斜率為，兩者相等化簡可得，先證存在性，再通過單調性證明唯一性.

試題解析：（）當時， ， ，令，則，令，則，∴函數的單調減區間為，單調增區間為．

（），∵在區間上是減函數，∴對任意恒成立，即對任意恒成立，

令，則，易知在上單調遞減，∴，∴．

（）設切點為， ，∴切線的斜率，

又切線過原點， ，∴，即，

∴，存在性， 滿足方程，

所以是方程的根唯一性，

設，則，∴在上單調遞增，且，∴方程有唯一解，綜上，過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為．