Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B是邊長為2的正方形，點C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好為A₁B的中點，且CH=，設D為中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為且正方形中，所以，

取中點，則且
，又為的中點，
所以，得平行四邊形HEDC，
因此，又，
得，，所以

平面    ………………………………6分
（Ⅱ）取中點，連，作于
因為，，所以平面平面，由（Ⅰ）得平面，
所以平面，又，所以，又，得 平面，所以與平面所成角為 ……………10分
在中，，
在中，由于，…………14分
另解：（向量法）（Ⅰ）
如圖，以H為原點，建立空間直角坐標系，

則C（0，0，），C₁（），A₁
（），B₁（0，，0），所以

，
，因此平面； ………………6分
（Ⅱ）設平面的法向量，由于
則，
得，所以  ……………………10分
又，所以……14分

略