Question

已知拋物線y²=8x的準線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B兩點，雙曲線的一條漸近線方程是y=2

2

x，點F是拋物線的焦點，且△FAB是直角三角形，則雙曲線的標準方程是（　　）

• A、

  x2

  16

  -

  y2

  2

  =1
• B、x²-

  y2

  8

  =1
• C、

  x2

  2

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  -y²=1

Answer 1

分析：由題意已知拋物線y²=8x的準線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B兩點，點F是拋物線的焦點，且△FAB是直角三角形，由圓錐曲線的對稱性可求得A，B的坐標分別為（-2，±4），將此點代入雙曲線方程，得a，b的一個方程組，再由漸近線方程是y=2

2

x，得到

b

a

=2

2

，聯立即可求得a，b的值，既得雙曲線的標準方程

解答：解：由題意拋物線y²=8x的準線為x=-2，焦點坐標是（2，0），又拋物線y²=8x的準線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B兩點，△FAB是直角三角形知，A，B兩點關于x軸對稱，橫坐標是-2，縱坐標是4與-4，將坐標（-2，±4）代入雙曲線方程得

4

a2

-

16

b2

=1  ①
又由雙曲線的一條漸近線方程是y=2

2

x，得

b

a

=2

2

，②
由①②解得a=

2

，b=4
所以雙曲線的方程是

x2

2

-

y2

16

=1
故選C

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，解題的關鍵是根據兩個圓錐曲線本身的對稱性及拋物線y²=8x的性質求出A，B的坐標，得到關于參數a，b的方程，圓錐曲線在高中數學中是數形結合的最高點，做題時一定要注意從圖形上挖掘出有價值的線索來．